Tänk dej en kula som snurrar med radien r runt en fix punkt, en hyperbolisk kurva för radien r(t) ger konstant varvtal vid endast luftmotstånd.

Kompensationsfel e

e = 1.00

t = 0.00 s
r(t) = 0.200 m
v(t) = 10.00 varv/s

r(t)

v(t)

Förklaring av modellen bakom programmet

Fysisk situation

Antag att en kula med massan m = 0.1 kg snurrar runt en fast punkt med varvtalet v = 10 varv/s.

Kulan sitter fast i punkten med ett tunt snöre. Snörets längd är radien r minus kulans egen radie. Avståndet från rotationspunkten till kulans centrum är alltså r = 0.2 m.

Hastighet och energi

Kulans tangentiella hastighet är

u = v · 2π · r

Kulans kinetiska energi ges av

E = 1/2 · m · u²

Luftmotstånd

Luftmotståndet antas vara proportionellt mot hastigheten i kvadrat:

F = k · u²

där

k = 10⁻² kg/m

Tidsutveckling av hastigheten

Rörelseekvationen blir

m · du/dt = −k · u²

Denna differentialekvation har lösningen

u(t) = 1 / ( 1/u₀ + (k/m) · t )

Tiden det tar för hastigheten att minska från u₀ till u₁ är

t₁ = (m/k) · ( 1/u₁ − 1/u₀ )

Observera att denna tid är oberoende av radien r.

Varvtal

Sambandet mellan varvtal och hastighet är

v = u / (2π · r(t)) v(t) = (1 / (2π · r(t))) · 1 / ( 1/u₀ + (k/m) · t )

Javasript:
const uOfT=t=>1/(1/u0+(k/m)*t);
const rOfT=(t,e)=>1/(1/r0+(2*Math.PI*k*e*v0/m)*t);
const vOfT=(t,e)=>uOfT(t)/(2*Math.PI*rOfT(t,e));

Varvtalet avtar alltså hyperboliskt med tiden om radien inte förändras.

Interaktiv visualisering

I diagrammen nedan visas:

r(t) – aktuell modell
r(t) – referensmodell med e = 1
v(t) – motsvarande varvtal

Alla axlar är låsta till samma referensskala.